\section{力学}

\subsection{力与物体的平衡}

力是物体对物体的作用，是使物体发生形变和改变物体运动状态的原因，力作为矢量，具备大小、方向和作用点这三要素。

\subsubsection{重力}
由地球对物体的吸引而产生，其大小计算公式为 \(G = mg\)（其中 \(m\) 表示物体质量，\(g\) 为重力加速度），方向竖直向下。重心是物体各部分所受重力合力的作用点，要注意物体的重心不一定在物体自身上。

\subsubsection{弹力}
产生源于物体发生弹性形变且有恢复原状的趋势，产生条件是物体直接接触并且存在弹性形变。弹力方向与形变方向相反，对于弹簧而言，遵循胡克定律，其表达式为 \(F = kx\)（式中 \(F\) 代表弹力，\(k\) 是弹簧劲度系数，\(x\) 为弹簧形变量），用数学公式表示为：
\begin{equation}
F = kx
\end{equation}

\subsubsection{摩擦力}
产生需要满足三个条件，即相互接触的物体间有压力、接触面不光滑、物体间有相对运动或相对运动趋势。滑动摩擦力大小计算公式为 \(f = \mu F_N\)（其中 \(\mu\) 是动摩擦因数，\(F_N\) 为正压力），用公式表示为：
\begin{equation}
f = \mu F_N
\end{equation}
静摩擦力大小处于 \(0\) 与最大静摩擦力 \(f_{max}\) 之间，需依据物体的具体运动状态来确定其值。

\subsubsection{力的合成与分解}
遵循平行四边形定则。合力与分力属于等效替代关系，力的分解通常按照力的实际作用效果进行分解，或者采用正交分解法。若存在两个分力 \({F}_1\) 和 \({F}_2\)，它们夹角为 \(\theta\) 时，合力 \({F}\) 的大小计算公式为：
\begin{equation}
F = \sqrt{F_1^{2} + F_2^{2} + 2F_1F_2\cos\theta}
\end{equation}

\section{机械能}

\subsection{功}
功是能量转化的量度，它表示力对物体在空间上的累积作用效果。其计算公式为 \(W = Fs\cos\theta\)（其中 \(F\) 是作用在物体上的力，\(s\) 是物体在力的方向上发生的位移，\(\theta\) 是力与位移方向的夹角），用LaTeX公式表示为：
\begin{equation}
W = Fs\cos\theta
\end{equation}
当力与位移方向相同时，\(\theta = 0^{\circ}\)，\(\cos\theta = 1\)，此时功的计算公式简化为 \(W = Fs\)。

\subsection{功率}
功率用于描述力对物体做功的快慢程度。定义式为 \(P = \frac{W}{t}\)（其中 \(W\) 是功，\(t\) 是完成这些功所用的时间），用LaTeX公式展示为：
\begin{equation}
P = \frac{W}{t}
\end{equation}
又因为 \(W = Fs\)，且 \(s = vt\)（\(v\) 为物体的瞬时速度），所以功率还可以表示为 \(P = Fv\cos\theta\)（这里同样要考虑力与速度方向的夹角 \(\theta\)），用LaTeX公式表示如下：
\begin{equation}
P = Fv\cos\theta
\end{equation}
平均功率 \(P_{平均}\) 对应一段时间内做功的平均快慢，其计算公式就是 \(P_{平均}=\frac{W}{t}\)，用LaTeX表示为：
\begin{equation}
P_{平均}=\frac{W}{t}
\end{equation}
而瞬时功率是某一时刻做功的快慢，当力与速度方向一致（\(\theta = 0^{\circ}\)）时，瞬时功率 \(P = Fv\)，用LaTeX公式表示为：
\begin{equation}
P = Fv
\end{equation}

\subsection{动能}
物体由于运动而具有的能量叫做动能，其表达式为 \(E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}\)（其中 \(m\) 为物体的质量，\(v\) 为物体的瞬时速度），用LaTeX公式表示为：
\begin{equation}
E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}
\end{equation}

\subsection{动能定理}
合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量，这就是动能定理。其表达式为 \(W_{合}=\Delta E_{k} = E_{k2} – E_{k1}\)（其中 \(W_{合}\) 表示合外力做的功，\(E_{k1}\) 是物体初动能，\(E_{k2}\) 是物体末动能），用LaTeX公式呈现为：
\begin{equation}
W_{合}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2} – \frac{1}{2}mv_{1}^{2}
\end{equation}

\subsection{重力势能}
物体由于被举高而具有的能量称为重力势能，其大小与物体的质量 \(m\)、所处高度 \(h\) 以及重力加速度 \(g\) 有关，计算公式为 \(E_{p}=mgh\)（选取某一参考平面，物体相对于该参考平面的高度为 \(h\)），用LaTeX公式表示为：
\begin{equation}
E_{p}=mgh
\end{equation}
重力做功与重力势能变化的关系为：重力做正功时，重力势能减小；重力做负功时，重力势能增加，且重力做的功等于重力势能变化量的相反数，即 \(W_{G}=-(E_{p2} – E_{p1})\)，用LaTeX公式表示为：
\begin{equation}
W_{G}=-(E_{p2} – E_{p1})
\end{equation}

\subsection{弹性势能}
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能叫做弹性势能。对于弹簧来说，弹性势能的大小与弹簧的劲度系数 \(k\) 和弹簧的形变量 \(x\) 有关，其表达式为 \(E_{p弹}=\frac{1}{2}kx^{2}\)（在弹性限度内），用LaTeX公式表示为：
\begin{equation}
E_{p弹}=\frac{1}{2}kx^{2}
\end{equation}

\subsection{机械能守恒定律}
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能（包括重力势能和弹性势能）可以相互转化，但机械能的总量保持不变。用公式表达为 \(E_{1}=E_{2}\)，即 \(E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\)（其中 \(E_{k1}\)、\(E_{p1}\) 分别为初状态的动能和势能，\(E_{k2}\)、\(E_{p2}\) 分别为末状态的动能和势能），用LaTeX公式表示为：
\begin{equation}
E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}
\end{equation}
判断机械能是否守恒可以从以下几个方面入手：
\begin{itemize}
\item 只存在重力做功，其他力不做功或者做功的代数和为零。
\item 只有弹力做功（针对弹簧等弹性体组成的系统），其他力不做功或者做功的代数和为零。
\end{itemize}

\end{document}

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